扩散方程是物理学建模最基本的方程之一。研究时空分数阶扩散偏微分方程的谱方法数值求解，时间方向采用Caputo分数阶导数的L1插值逼近格式，构造了原方程在时间方向上的半离散格式，证明了半离散格式解的存在唯一性和稳定性，并给出了误差分析方面结论的相关证明。在半离散格式的基础上，空间方向采用Legendre谱方法离散得到原方程的全离散格式，进一步证明了此全离散格式的解存在且唯一，而是无条件稳定的，并严格证明了数值解与精确解之间的误差方面的结论。